Existencia de campos magnéticos débilmente cuasisimétricos sin transformada rotacional en dominios toroidales asimétricos

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 11322 (2022) Citar este artículo

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Una cuasisimetría es una simetría especial que mejora la capacidad de un campo magnético para atrapar partículas cargadas. Los campos magnéticos cuasisimétricos pueden permitir la realización de reactores de fusión de próxima generación (stellarators) con un rendimiento superior en comparación con los diseños de tokamak. Sin embargo, la existencia de tales configuraciones magnéticas carece de prueba matemática debido a la complejidad de las ecuaciones gobernantes. Aquí demostramos la existencia de campos magnéticos débilmente cuasisimétricos mediante la construcción de ejemplos explícitos. Este resultado se logra mediante una parametrización personalizada tanto del campo magnético como del dominio toroidal de alojamiento, que están optimizados para cumplir con la cuasisimetría. Las soluciones obtenidas se mantienen en un volumen toroidal, son suaves, poseen superficies de flujo anidadas, no son invariantes bajo isometrías euclidianas continuas, tienen una corriente que no se desvanece, exhiben una transformación rotacional que se desvanece y encajan dentro del marco de la magnetohidrodinámica anisotrópica. Sin embargo, debido a la transformación rotacional que desaparece, estas soluciones no son adecuadas para el confinamiento de partículas.

La fusión nuclear es una tecnología con el potencial de revolucionar la forma en que se recolecta la energía. En el enfoque de la fusión nuclear basado en el confinamiento magnético, las partículas cargadas (el combustible de plasma) quedan atrapadas en un reactor en forma de rosquilla (toroidal) con la ayuda de un campo magnético diseñado adecuadamente. En un tokamak1, la vasija del reactor es axialmente simétrica (ver Fig. 1a). La simetría axial se describe matemáticamente por la independencia de cantidades físicas, como el campo magnético \(\varvec{B}\) y su módulo B, del ángulo toroidal \(\varphi \). Tal simetría es crucial para la calidad del confinamiento del tokamak, porque asegura la conservación del momento angular \(p_{\varphi }\) de las partículas cargadas. Sin embargo, la constancia de \(p_{\varphi }\) no es suficiente para restringir las órbitas de las partículas en un volumen limitado porque, además de la tendencia a seguir las líneas del campo magnético, las partículas se desplazan a través del campo magnético. Esta deriva perpendicular finalmente provoca la pérdida de partículas en la pared del reactor, lo que deteriora el confinamiento necesario para mantener las reacciones de fusión. Por lo tanto, en un tokamak, las derivas perpendiculares se suprimen al conducir una corriente eléctrica axial a través de la región de confinamiento, lo que genera un campo magnético poloidal además del campo magnético externo producido por las bobinas que rodean el recipiente de confinamiento (ver Figs. 1a, b). Por lo tanto, el campo magnético general forma líneas de campo helicoidales retorcidas alrededor del toro. Desafortunadamente, el control de dicha corriente eléctrica es difícil porque se mantiene mediante la circulación del propio combustible en combustión, lo que hace que el funcionamiento constante de la máquina sea un desafío práctico.

(a) y (b): configuración del campo magnético en un tokamak axialmente simétrico. El campo magnético de confinamiento total \(\varvec{B}=\varvec{B}_{\varphi }+\varvec{B}_{\vartheta }\) viene dado por una componente axial (toroidal) \(\varvec{ B}_{\varphi }\) producido por bobinas externas más un componente poloidal \(\varvec{B}_{\vartheta }\) generado por una corriente eléctrica que fluye en la dirección \(\varphi \). Esta corriente es sostenida por el propio plasma confinado. Aquí, \(\varphi \) y \(\vartheta \) denotan ángulo toroidal y ángulo poloidal respectivamente. Por simplicidad, no se muestra la vasija del reactor que separa los serpentines externos de la región de confinamiento. (a) El campo magnético total \(\varvec{B}\) sobre una superficie de flujo \(\Psi =\mathrm{constante}\) tal que \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =0\ ). (b) Vista esquemática de la componente toroidal \(\varvec{B}_{\varphi }\) y la componente poloidal \(\varvec{B}_{\vartheta }\) en una sección transversal \(\varphi =\mathrm {constante}\). (c) Representación esquemática de un estelarador: el campo magnético de confinamiento es asimétrico y producido en su totalidad por bobinas externas, lo que implica que la corriente eléctrica asociada desaparece en la región de confinamiento, \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B }=\varvec{0}\). Figura creada usando Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

A diferencia de los tokamaks, los stellarators2,3 están diseñados para confinar partículas cargadas a través de un campo magnético de vacío producido por bobinas asimétricas adecuadamente diseñadas (ver Fig. 1c). En este contexto, la simetría se define como la invariancia bajo isometrías euclidianas continuas, es decir, transformaciones del espacio euclidiano tridimensional que preservan la distancia euclidiana entre puntos. En la práctica, estas transformaciones son combinaciones de traslaciones y rotaciones, con tres tipos de simetría correspondientes: traslacional, rotacional (incluida la axial) y helicoidal. El campo magnético generado por las bobinas asimétricas de un stellarator está dotado de la torsión de línea de campo necesaria para minimizar la pérdida de partículas asociada con el movimiento de deriva perpendicular. Esto elimina, en principio, la necesidad de impulsar una corriente eléctrica dentro de la región de confinamiento y, por lo tanto, permite que el reactor funcione en una condición cercana a un estado estable (en la práctica, las corrientes también pueden existir en los estelaradores, pero son sensiblemente más pequeños que los de un tokamak). Desafortunadamente, la pérdida de simetría axial tiene un alto precio: en general, el momento angular \(p_{\varphi }\) ya no es constante y el confinamiento se degrada. Sin embargo, un momento conservado que restringe espacialmente las órbitas de las partículas se puede restaurar si el campo magnético satisface un tipo de simetría más general, la llamada cuasisimetría3,4. La característica esencial de un campo magnético cuasisimétrico, cuya definición rigurosa5 se da en la Ec. (1), es la invariancia \(\varvec{u}\cdot \nabla B=0\) del módulo \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) en una determinada dirección en espacio \(\varvec{u}\) (la cuasisimetría). Para completar, cabe señalar que existen dos tipos de cuasisimetría6,7,8,9: cuasisimetría débil (la considerada en el presente artículo) y cuasisimetría fuerte. En el primero, la cuasisimetría da como resultado un impulso conservado en primer orden en la expansión del centro de guía, mientras que en el último la ley de conservación se origina a partir de una simetría exacta del hamiltoniano del centro de guía. Además, la noción de cuasisimetría puede generalizarse a la omnigenidad, propiedad que garantiza la supresión de las derivas perpendiculares en promedio10.

A pesar de que se han construido varios stellarators orientados a la cuasisimetría u omnigenidad11,12, que se están dedicando importantes esfuerzos a la optimización de stellarator (ver p. campos magnéticos carece de prueba matemática. Esta deficiencia tiene sus raíces en la complejidad de las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan la cuasisimetría, que se encuentran entre las más difíciles de la física matemática. En efecto, por un lado el volumen toroidal donde se busca la solución es en sí mismo una variable del problema. Por otro lado, dado que las ecuaciones de gobierno pertenecen a la clase de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, es difícil establecer resultados generales más allá de la existencia de soluciones locales mediante la aplicación de herramientas analíticas estándar como el método de características. La disponibilidad de campos magnéticos cuasisimétricos también depende en gran medida de las restricciones adicionales que se imponen al campo magnético. Por ejemplo, si se busca un campo magnético casi simétrico dentro del marco de la magnetohidrodinámica isotrópica ideal, el análisis de 15 sugiere que tales configuraciones no existen (ver también 16, 17, 18, 19) debido a un sistema de ecuaciones sobredeterminado donde las restricciones geométricas superan en número a las grados de libertad disponibles. El problema de la sobredeterminación es menos grave20,21,22 si los campos magnéticos cuasisimétricos corresponden a equilibrios de magnetohidrodinámica anisotrópica ideal23,24,25 donde la presión escalar se reemplaza por un tensor de presión. En este contexto, se ha demostrado26 que existen campos magnéticos cuasisimétricos locales, aunque tales soluciones locales solo se definen en una parte de un dominio toroidal debido a la falta de periodicidad alrededor del toro.

El objetivo del presente artículo es establecer la existencia de campos magnéticos débilmente cuasisimétricos en dominios toroidales mediante la construcción de ejemplos explícitos. Este enfoque 'constructivo' tiene la ventaja de pasar por alto la dificultad intrínseca de las ecuaciones generales que gobiernan la cuasisimetría y depende del método de parametrización de Clebsch27, que proporciona una representación efectiva de las variables involucradas, incluida la forma del límite que encierra la región de confinamiento. Los campos magnéticos casi simétricos informados en el presente documento se mantienen dentro de volúmenes toroidales asimétricos, son suaves, tienen superficies de flujo anidadas, no son invariantes bajo isometrías euclidianas continuas y pueden considerarse como equilibrios de magnetohidrodinámica anisotrópica ideal. Sin embargo, estos resultados vienen con algunas advertencias: dado que las soluciones construidas están optimizadas solo para cumplir con la cuasisimetría débil, los campos magnéticos encontrados carecen de otras características que serían deseables desde una perspectiva de confinamiento. En particular, exhiben una transformada rotacional que se desvanece (el número de tránsitos poloidales realizados por una línea de campo magnético durante un tránsito toroidal es cero), no son campos de vacío y su cuasisimetría no se encuentra en superficies de flujo toroidal. Por lo tanto, a pesar de ser casi simétricas, las soluciones construidas no son adecuadas para confinar partículas dentro de una región acotada. Si las propiedades adicionales, como una transformación rotacional que no se desvanece o una corriente que se desvanece, son consistentes con una cuasisimetría débil, por lo tanto, sigue siendo un problema teórico abierto.

Sea \(\Omega \subset \mathbb {R}^3\) un dominio acotado suave con límite \(\parcial \Omega \). En el contexto del diseño de stellarator \(\Omega \) representa el volumen ocupado por el plasma confinado magnéticamente, mientras que la superficie límite \(\parcial \Omega \simeq \mathrm{T}^2\) tiene la topología de un toro ( una variedad bidimensional de género 1). Es importante observar que, en contraste con el diseño convencional de tokamak, la vasija \(\parcial \Omega \) de un stellarator no presenta simetría axial ni helicoidal. En \(\Omega \), un campo magnético estacionario \(\varvec{B}\left( {\varvec{x}}\right) \) se dice que es débilmente cuasisimétrico siempre que exista un campo vectorial \(\ varvec{u}\left( {\varvec{x}}\right) \) y una función \(\zeta \left( {\varvec{x}}\right) \) tal que el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales sostiene,

donde \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) es el módulo de \(\varvec{B}\), \(\varvec{n}\) denota la unidad hacia afuera normal a \ (\parcial \Omega \), y \(\varvec{u}\) es la dirección de cuasisimetría. Como se explicó anteriormente, el sistema (1a) asegura la existencia de un momento conservado de primer orden en el ordenamiento del centro de guía que se espera mejore el confinamiento de las partículas. Por lo general, la función \(\zeta \) se identifica con una función de flujo \(\Psi \) que tiene conjuntos de niveles toroidales. Entonces, tanto \(\varvec{B}\) como \(\varvec{u}\) se encuentran en superficies de flujo toroidal \(\Psi =\mathrm{constant}\) y el momento conservado que se origina de la cuasisimetría se aproxima bien por la función de flujo \(\Psi \). Aunque esta propiedad es muy deseable desde una perspectiva de confinamiento porque limita las órbitas de las partículas en una región limitada, en principio, la cuasisimetría débil (1) se puede cumplir incluso si los conjuntos de niveles de \(\zeta \) difieren de las superficies toroidales (ver eg5) . En particular, permitir configuraciones con \(\zeta \ne \Psi \) deja la interesante posibilidad de lograr un buen confinamiento si los conjuntos de niveles de \(\zeta \) encierran regiones acotadas con una topología que puede apartarse de un toro. Matemáticamente, las cuatro ecuaciones en el sistema (1a) representan las llamadas simetrías de Lie de la solución, es decir, la desaparición de la derivada de Lie \(\mathfrak {L}_{\varvec{\xi }}T\) que cuantifica la diferencia infinitesimal entre el valor de un campo tensorial T en un punto dado y el obtenido por advección del campo tensorial a lo largo del flujo generado por el campo vectorial \(\varvec{\xi }\). Específicamente, la primera ecuación y la tercera ecuación, que implican que tanto \(\varvec{B}\) como \(\varvec{u}\) son campos vectoriales solenoidales, expresan la conservación de volúmenes advectados a lo largo de \(\varvec{B }\) y \(\varvec{u}\) según \(\mathfrak {L}_{\varvec{B}}dV=\mathfrak {L}_{\varvec{u}}dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{B}}\right) dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{u}}\right) dV=0\), donde \(dV=dxdydz\) es el volumen elemento en \(\mathbb {R}^3\). De manera similar, la segunda ecuación en (1a) expresa la invariancia del campo vectorial \(\varvec{B}\) a lo largo de \(\varvec{u}\) según \(\mathfrak {L}_{\varvec{u }}\varvec{B}=\varvec{u}\cdot \nabla \varvec{B}-\varvec{B}\cdot \nabla \varvec{u}=\nabla \times \left( {\varvec{B }\times \varvec{u}}\right) =\varvec{0}\), mientras que la cuarta ecuación expresa la invariancia del módulo \(B^2\) a lo largo de \(\varvec{u}\), es decir \(\mathfrak {L}_{\varvec{u}}B^2=\varvec{u}\cdot \nabla B^2=0\). Para más detalles sobre estos puntos ver 26.

La construcción de una solución de (1) se complica por el hecho de que \(\varvec{B}\), \(\varvec{u}\), \(\zeta \) y \(\parcial \Omega \) no son parámetros independientes, pero deben optimizarse de manera concurrente respetando los requisitos topológicos en la forma de la superficie delimitadora. Por ejemplo, asignar la superficie límite \(\parcial \Omega \) desde el principio generalmente evitará la existencia de soluciones debido a la sobredeterminación (los grados de libertad disponibles no son suficientes para satisfacer las ecuaciones de cuasisimetría). Una forma conveniente de optimizar simultáneamente \(\varvec{B}\), \(\varvec{u}\), \(\zeta \) y \(\parcial \Omega \) es usar los parámetros de Clebsch27, que permiten la aplicación del requisito topológico en \(\parcial \Omega \), que debe ser un toro, y la extracción de los restantes grados geométricos de libertad de \(\varvec{B}\), \(\varvec{u} \) y \(\zeta\). Para ver esto, primero observe que el límite \(\parcial \Omega \) se puede expresar como un conjunto de niveles de una función de flujo \(\Psi \) (que se supone que existe) tal que \(\varvec{B} \cdot \nabla \Psi =0\) en \(\Omega\). En particular, esto implica que la unidad normal hacia afuera del límite \(\parcial \Omega \) se puede escribir como \(\varvec{n}=\nabla \Psi /\left|{\nabla \Psi }\right| \). Luego, parametriza \(\varvec{B}\) y \(\varvec{u}\) como

donde los parámetros de Clebsch \(\beta _1\), \(\beta _2\), \(u_1\) y \(u_2\) son funciones (posiblemente multivaluadas) que deben determinarse a partir de las ecuaciones de cuasisimetría. (1) y el requisito topológico de que \(\Psi \) defina superficies toroidales. Aquí, cabe señalar que, debido al teorema de Lie-Darboux28, para un campo vectorial solenoidal suave dado \(\varvec{v}\) siempre se pueden encontrar funciones de un solo valor \(\alpha _1\) y \(\ alpha _2\) definido en una vecindad U suficientemente pequeña de un punto elegido \(\varvec{x}\in \Omega \) tal que \(\varvec{v}=\nabla \alpha _1\times \nabla \alpha _2 \) en U. A la luz de la parametrización (2), la condición de frontera \(\varvec{B}\cdot \varvec{n}=\varvec{B}\cdot \frac{\nabla \Psi }{\left |{\nabla \Psi }\right|}=0\) en \(\parcial \Omega \) ahora se puede satisfacer de manera idéntica exigiendo que \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2 }\bien) \). Además, asumiendo \(\varvec{u}\ne \varvec{0}\), la cuarta ecuación en (1a) implica que el módulo \(B^2\) debe ser una función \(f_B\left( {u_1 ,u_2}\right) \) de \(u_1\) y \(u_2\). Así, usando la parametrización (2), el sistema (1) se reduce a

Al pasar de (1) a (3) usamos el hecho de que la primera y la tercera ecuación en (1a) se cumplen de manera idéntica.

Ahora nuestra tarea es resolver el sistema (3) determinando \(\beta _1\), \(\beta _2\), \(u_1\), \(u_2\), \(f_B\), \(\zeta \) y \(\Psi \) para que los conjuntos de niveles de \(\Psi \) definan superficies toroidales. La integración directa de (3) es una tarea matemáticamente difícil debido al número y complejidad de las restricciones geométricas involucradas. Por lo tanto, es conveniente partir de soluciones especiales conocidas correspondientes a configuraciones axialmente simétricas y luego realizar una generalización de ruptura de simetría a la medida. El campo magnético de vacío axialmente simétrico más simple está dado por

El campo magnético (4) satisface el sistema (1) si, por ejemplo, la cuasisimetría se elige como \(\varvec{u}_0=\varvec{B}_0\). Las superficies de flujo correspondientes están dadas por toros axialmente simétricos generados por conjuntos de niveles de la función

con \(r_0\) una constante real positiva que representa la posición radial del eje toroidal (radio mayor). Comparando la Ec. (2) con las ecuaciones. (4) y (5), se ve que \(\beta _1=u_1=z\), \(\beta _2=u_2=\log r\), \(B_0^2=1/r^2=e ^{-2u_2}\), y \(\Psi _0=\frac{1}{2}\left[ \left( {e^{\beta _2}-r_0}\right) ^2+\beta _1^ 2\derecha]\).

El toroide axialmente simétrico (5) se puede generalizar a una clase más grande de superficies toroidales26 como

En esta notación, \(\mu \), \(\mu _0\), \(\mathcal {E}\) y h son funciones de un solo valor con las siguientes propiedades. Para cada z, la función \(\mu \) mide la distancia de un punto en el plano \(\left( {x,y}\right) \) desde el origen en \(\mathbb {R}^2\ ). La más simple de tales medidas es la coordenada radial r. De manera más general, en cada plano \(z=\mathrm{constante}\) los conjuntos de niveles de \(\mu \) pueden partir de círculos y exhibir, por ejemplo, forma elíptica. La función \(\mu _0\) asigna el valor de \(\mu \) en el que se encuentra el eje toroidal. Para el toroide axialmente simétrico \(\Psi _0\), tenemos \(\mu _0=r_0\). La función \(\mathcal {E}>0\) expresa la salida de las secciones transversales toroidales (intersecciones del toroide con conjuntos de niveles del ángulo toroidal) de los círculos. Por ejemplo, el toroide axialmente simétrico \(\Psi _\mathrm{ell}=\frac{1}{2}\left[ \left( {r-r_0}\right) ^2+2z^2\right] \ ) correspondiente a \(\mathcal {E}=2\) tiene una sección transversal elíptica. Finalmente, la función h puede interpretarse como una medida del desplazamiento vertical del eje toroidal desde el plano \(\left( {x,y}\right) \). La Figura 2 muestra diferentes superficies toroidales generadas a través de (6).

Superficies toroidales obtenidas como conjuntos de niveles de la función \(\Psi \) definida por la Eq. (6). (a) Toro axialmente simétrico \(\Psi =0.15\) con \(\mu =r\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E}=1\), y \(h =0\). (b) Toro elíptico \(\Psi =0.1\) con \(\mu =\sqrt{x^2+0.4 y^2}\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E }=1\) y \(h=0\). Observe que las secciones \(z=\mathrm{constante}\) forman elipses. (c) Toro axialmente simétrico \(\Psi =0.15\) con \(\mu =r\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E}=0.4\), y \(h =0\). Observe que las secciones \(\varphi =\mathrm{constante}\) forman elipses. (d) Toro \(\Psi =0.1\) con \(\mu =r\), \(\mu _0=3\), \(\mathcal {E}=1\), y \(h=1 +0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). (e) Toro \(\Psi =0.1\) con \(\mu =r\), \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \), \(\ mathcal {E}=5+2.5\sin \left( {4\varphi }\right) \), y \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). (f) Toro \(\Psi =0.1\) con \(\mu =\sqrt{x^2+(0.9+0.1\sin \left( {3\varphi }\right) )y^2}\), \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {5\varphi }\right) \), \(\mathcal {E}=5+2.5\cos \left( {3\varphi }\right) \ ), y \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). Figura creada usando Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

La simetría axial del toro \(\Psi _0\) dada por (5) se puede romper introduciendo la dependencia del ángulo toroidal \(\varphi \) en una de las funciones \(\mu \), \(\mu _0\), \(\mathcal {E}\), o h que aparece en (6). Establezcamos \(\mu =r\), tomemos \(\mu _0\) y \(\mathcal {E}\) como constantes positivas, y consideremos una simetría que rompe el desplazamiento axial vertical \(h=h\left( {r,\varphi,z}\derecha)\). Para que el \(\Psi \) correspondiente defina una superficie toroidal, la función h debe tener un solo valor. Por lo tanto, \(\varphi \) debe aparecer en h como argumento de una función periódica. Por lo tanto, el ansatz más simple para h es

Aquí \(m\in \mathbb {Z}\) es un número entero, \(\epsilon \) un parámetro de control positivo tal que el campo magnético axialmente simétrico estándar \(\varvec{B}_0\) con superficies de flujo \( \Psi _0\) se puede recuperar en el límite \(\epsilon \rightarrow 0\), y ga función de r y z a determinar. Ahora recuerda que de la Ec. (3) la función \(\Psi \) está relacionada con los potenciales de Clebsch \(\beta _1\) y \(\beta _2\) generando el campo magnético \(\varvec{B}=\nabla \beta _1\ veces \nabla \beta _2\) según \(\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \). Comparando con el caso axialmente simétrico (5) deducimos que la analogía se cumple si \(\beta _1=zh\) y \(\beta _2=\log r\). Definiendo \(\eta =m\varphi +g\), se sigue que el campo magnético cuasisimétrico candidato es

donde g debe determinarse aplicando cuasisimetría. A continuación, observa que

Una característica esencial de la cuasisimetría (3) es que el módulo \(B^2\) se puede escribir como una función de solo dos variables, \(B^2=f_B\left( {u_1,u_2}\right) \) . De la ecuación. (9) se ve que este resultado se puede lograr estableciendo \(\partial g/\partial z=q\left( {r}\right) \) para alguna función radial \(q\left( {r}\right ) \) de modo que \(u_1=\eta \), \(u_2=\log r\), y también

con \(v\left( {r}\right) \) una función radial. La dirección candidata de cuasisimetría es por lo tanto

con \(\sigma \left( {\eta ,r}\right) \) una función de \(\eta \) yr por determinar. Ya que por construcción \(B^2=B^2\left( {u_1,u_2}\right) \), \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \) , y tanto \(\varvec{B}\) como \(\varvec{u}\) dadas por (8) y (11) son solenoidales, la única ecuación restante en el sistema (3) que debe satisfacerse es la primera uno. En particular, tenemos

Por lo tanto, al establecer \(\sigma =\sigma \left( {r}\right) \), el sistema (3) se satisface con

Sin pérdida de generalidad, podemos establecer \(\sigma =-r^3\) de modo que \(\zeta =mr\) y ​​la configuración cuasisimétrica esté dada por

donde \(\mathcal {E}\) es una constante real positiva.

Para que la familia de soluciones (14) califique tanto como cuasisimétrica como sin isometrías euclidianas continuas, debemos verificar que el campo magnético (14a) no es invariante bajo alguna combinación apropiada de traslaciones y rotaciones. Para ver esto, considere el caso \(q=1/r\) y ​​\(v=0\) correspondiente a

donde \(\mathcal {E}\) es una constante real positiva. Observa que el campo magnético (15a) es uniforme en cualquier dominio \(V\subset \mathbb {R}^3\) que no contenga el eje vertical \(r=0\). Para excluir la existencia de cualquier isometría Euclidiana continua para (15a) es suficiente mostrar que la ecuación

no tiene solución para ninguna elección de campos vectoriales constantes \(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\) con \(\varvec{a}^2+\varvec{b }^2\ne 0\). De hecho, dado que \(\varvec{\xi }=\varvec{a}+\varvec{b}\times \varvec{x}\) representa el generador de isometrías euclidianas continuas, la imposibilidad de satisfacer (16) impide que el magnético campo \(\varvec{B}\) de poseer simetría traslacional, axial o helicoidal. Para más detalles sobre este punto, véase 26. A continuación, introduciendo de nuevo \(\eta =m\varphi +z/r\), de la Eq. (15a) uno tiene

Resulta que

Sean \(\left( {a_x,a_y,a_z}\right) \) y \(\left( {b_x,b_y,b_z}\right) \) las componentes cartesianas de \(\varvec{a}\) y \(\varvec{b}\). En la superficie \(\eta =0\), correspondiente a \(z=z\left( {x,y}\right) =-mr\varphi =-m\arctan \left( {y/x}\right ) \sqrt{x^2+y^2}\), tenemos \(\sin \eta =0\) y \(\cos \eta =1\), y por lo tanto,

Esta cantidad se anula siempre que \(a_x=a_y=b_x=b_y=0\). Considere ahora la superficie \(\eta =\pi /2\), que implica \(z=z\left( {x,y}\right) =r\left( {\pi /2-m\varphi }\ derecha) =\sqrt{x^2+y^2}\left( {\pi /2-m\arctan \left( {y/x}\right) }\right) \). En este caso \(\sin \eta =1\) while \(\cos \eta =0\). Además, dado que los únicos componentes sobrevivientes en \(\varvec{\xi }\) son los que provienen de \(a_z\) y \(b_z\), uno tiene \(\varvec{\xi }\cdot \nabla r= 0\), y por lo tanto

Esta cantidad se anula siempre que \(a_z=b_z=0\). Por tanto, el campo magnético cuasisimétrico (15a) no puede poseer isometrías euclidianas continuas. La ecuación (20) también sugiere que el campo magnético (15a) está dotado de un tipo generalizado de simetría helicoidal (aunque esta simetría no corresponde a una isometría de \(\mathbb {R}^3\)). De hecho, en un campo magnético helicoidalmente simétrico uno espera \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z}\right) \) para alguna constante m. Sin embargo, la solución obtenida (15a) es tal que \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) como se desprende de (17). En este sentido, el campo magnético (15a) posee una simetría helicoidal diferente parametrizada por 1/r en cada superficie magnética \(r=\mathrm{constante}\).

De manera similar, la función de flujo \(\Psi \) definida por Eq. (15c) no es invariante bajo isometrías euclidianas continuas. De hecho, la ecuación

no tiene solución para ninguna elección no trivial de \(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\). Esto se puede verificar fácilmente para \(\left|{m}\right|>1\). De hecho, en este caso es suficiente evaluar \(\varvec{\xi }\cdot \nabla \Psi \) sobre la línea \(r=r_0\), \(z=0\) parametrizada por \(\varphi \). Aquí tenemos

Esta cantidad desaparece idénticamente siempre que \(a_x=a_y=a_z=b_x=b_y=b_z=0\).

Examinemos las propiedades de la configuración cuasisimétrica (15). Primero, observe que los conjuntos de niveles de (15c) definen superficies toroidales (ver Fig. 3a), lo que implica que el campo magnético (15a) tiene superficies de flujo anidadas. A continuación, tenga en cuenta que la función \(\zeta \) tal que \(\varvec{B}\times \varvec{u}=\nabla \zeta \) es proporcional a la coordenada radial, es decir, \(\zeta =mr\ ). Esta función está asociada con el momento conservado \(\bar{p}\) generado por la cuasisimetría. En particular, tenemos 5

Aquí, \(v_{\parallel }\) denota el componente de la velocidad de una partícula cargada a lo largo del campo magnético \(\varvec{B}\) mientras que \(\epsilon _{\mathrm{gc}}\sim \ rho /L\) es un pequeño parámetro asociado con el orden del centro de guía, \(\rho \) el giroradio y L una escala de longitud característica para el campo magnético. De ello se deduce que las partículas cargadas que se mueven en el campo magnético (15a) conservarán aproximadamente su posición radial ya que \(\bar{p}\approx -\frac{m}{\epsilon _{\mathrm{gc}}}r\) . Esta propiedad favorece un buen confinamiento, aunque no puede evitar que las partículas se desplacen en dirección vertical. La situación es así análoga al caso de un campo magnético de vacío axialmente simétrico \(\varvec{B}_{0}=\nabla \varphi \). Los conjuntos de nivel de \(\zeta =mr\) en una superficie de flujo (15c) se muestran en la Fig. 3b. Estos contornos corresponden a líneas de campo magnético porque el campo magnético (15a) es tal que \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =\varvec{B}\cdot \nabla r=0\), y las líneas de campo son soluciones de la ecuación diferencial ordinaria \(\dot{\varvec{x}}=\varvec{B}\). En particular, observe que las líneas del campo magnético no están torcidas (la transformada rotacional es cero) y están dadas por las intersecciones de las superficies \(\Psi =\mathrm{constante}\) y \(r=\mathrm{constante} \), lo que implica que su proyección en el plano \(\left( {x,y}\right) \) es un círculo. Las gráficas del campo magnético (15a) y su módulo \(B^2\) se dan en la Fig. 3c, d. También vale la pena notar que el campo magnético (15a) no es un campo de vacío. De hecho, tiene una corriente que no desaparece \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\) dada por

Las Figuras 3e, f muestran gráficos del campo actual \(\varvec{J}\) y el correspondiente módulo \(J^2\). La fuerza de Lorentz \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) se puede evaluar como

No es difícil verificar que el lado derecho de esta ecuación no se puede escribir como el gradiente de un campo de presión \(\nabla P\). Por lo tanto, el campo magnético cuasisimétrico (15a) no representa un equilibrio de magnetohidrodinámica ideal. Sin embargo, se puede considerar como un equilibrio de magnetohidrodinámica anistrópica \(\varvec{J}\times \varvec{B}=\nabla \cdot \Pi \) siempre que las componentes \(P_{\perp },P_{\ paralelo }\) del tensor de presión \(\Pi ^{ij}=P_{\perp }\delta ^{ij}+\left( {P_{\parallel }-P_{\perp }}\right) B^ iB^j/B^2\) se eligen apropiadamente. De hecho, es suficiente establecer \(P_{\perp }=\left( {P_0-B^2}\right) /2\) y \(P_{\parallel }=\left( {P_0+B^2 }\right) /2\) con \(P_0\) una constante real (sobre este punto, ver26). Gráficas de la fuerza de Lorentz \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) y su módulo \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\) se dan en las Figs. 3g, h. A continuación, observe que la cuasisimetría \(\varvec{u}\) dada por la Eq. (15b) no es tangencial a las superficies de flujo toroidal \(\Psi \) definidas en (15c). En efecto,

Los gráficos de la cuasisimetría \(\varvec{u}\) y su módulo \(u^2\) se pueden encontrar en las Fig. 3i, j.

La configuración cuasisimétrica (15) para \(r_0=3\), \(\epsilon =0.2\), \(m=4\) y \(\mathcal {E}=0.7\). (a) Superficie de flujo \(\Psi =0.1\). (b) Conjuntos de niveles de r en la superficie de flujo \(\Psi =0.1\). Estos contornos corresponden a líneas de campo magnético. (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j): gráficos del campo magnético \(\varvec{B}\), el módulo \ (B^2\), la corriente eléctrica \(\varvec{J}\), el módulo \(J^2\), la fuerza de Lorentz \(\varvec{J}\times \varvec{B}\), el módulo \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\), la cuasisimetría \(\varvec{u}\), y el módulo \(u^2\ ) en la superficie de flujo \(\Psi =0.1\). Figura creada usando Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Finalmente, consideremos cómo la cuasisimetría de la configuración (15) se compara con el entendimiento usual de que el módulo de un campo magnético cuasimétrico depende de una función de flujo \(\Psi _b\) y una combinación lineal del ángulo toroidal \(\varphi _b\) y el ángulo poloidal \(\vartheta _b\), es decir, \(B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) con M, N enteros. Cuando \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \), en cada superficie de flujo los contornos del módulo \(B^2\) en el plano \(\left( {\varphi _b,\vartheta _b}\right) \) forman líneas rectas. Para el campo magnético cuasisimétrico (15a) tenemos \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \). Por lo tanto, la correspondencia con la configuración habitual se puede obtener mediante la identificación \(\Psi _b\rightarrow r\), \(\varphi _b\rightarrow \varphi \), y \(\vartheta _b\rightarrow z/r\) . Esta correspondencia se puede hacer más rigurosa recordando que la propiedad \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) surge de escribir el triple vector formulación del producto de la cuasisimetría, \(\nabla \Psi _b\times \nabla B\cdot \nabla \left( {\varvec{B}\cdot \nabla B}\right) =0\), a través de las coordenadas de Boozer \(\ izquierda ( {\ Psi _b, \ varphi _b, \ vartheta _b} \ derecha) \). En estas coordenadas el campo magnético tiene expresión \(\varvec{B}=B_{\Psi _b}\left( {\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \nabla \Psi _b+B_{\ varphi _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \varphi _b+B_{\vartheta _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \vartheta _b\), lo que implica \(\ varvec{J}\cdot \nabla \Psi _b=0\). Esta es una propiedad satisfecha por equilibrios magnetohidrodinámicos con presión isotrópica. Sin embargo, como se discutió anteriormente, la solución (15a) no pertenece a la clase de equilibrio magnetohidrodinámico con presión isotrópica. Por lo tanto, la existencia de coordenadas de Boozer no es trivial. Sin embargo, para la solución (15a) es posible identificar las coordenadas generalizadas de Boozer \(\left( {\Psi _{gb},\varphi _{gb},\vartheta _{gb}}\right) =\left( {r,\eta /r,-z/r}\right) \) con la propiedad de que el jacobiano \(\mathcal {J}=\nabla \Psi _{gb}\cdot \nabla \varphi _{gb} \times \nabla \vartheta _{gb}=-m/r^3\) es una función de la función de flujo \(\Psi _{gb}=r\) y ​​la cuasisimetría se expresa mediante la condición \(\parcial B/\parcial \vartheta _{gb}=0\) o \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) (sobre este punto, ver 6) .

La figura 4 muestra cómo los contornos del campo magnético cuasisimétrico (15a) forman líneas rectas en el plano \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \). A continuación, es útil determinar cuánto se apartan los contornos de \(B^2\) de las líneas rectas en cada superficie de flujo \(\Psi \). Para ello, observe que la Ec. (15c) se puede invertir para obtener \(r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) \) con \(\eta =m\varphi +z/r\) de modo que el módulo ( 17) se puede escribir en la forma \(B^2=B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \). La Figura 5 muestra los contornos de \(B^2\) en el plano \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) para un valor fijo de \(\Psi \) y diferentes opciones de parámetro \(\epsilon \) que controla el grado de asimetría de la solución. En particular, observe cómo la solución (15) se aproxima a la simetría axial para valores más pequeños de \(\epsilon \).

Módulo \(B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) del campo magnético cuasisimétrico (15a) para \(\epsilon =0.2\) y \(m=4\) como se ve en el plano \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) para diferentes valores de la coordenada radial r. (a) Parcela en el conjunto de niveles \(r=1\). (b) Parcela en el conjunto de niveles \(r=2\). Observa cómo los contornos de \(B^2\) forman líneas rectas. Figura creada usando Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Módulo \(B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \) con \(\eta =m\varphi +z/r \) del campo magnético cuasisimétrico (15a) para \(r_0=3\), \(m=4\) y \(\mathcal {E}=0.7\) como se ve en \(\left( {m\ varphi ,z/r}\right) \) plano correspondiente a \(\Psi =0.1\). (a) El caso \(\epsilon =0.01\). (b) El caso \(\epsilon =0.05\). Observe que las regiones blancas en la gráfica reflejan el hecho de que para valores dados de \(\Psi \) y \(\varphi \) el rango de z está acotado. Figura creada usando Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

En conclusión, hemos demostrado la existencia de campos magnéticos débilmente cuasisimétricos en volúmenes toroidales mediante la construcción de ejemplos explícitos (14) mediante el método de parametrización de Clebsch. Las configuraciones obtenidas son soluciones del sistema (1) con las siguientes propiedades. En el dominio toroidal optimizado \(\Omega \), el campo magnético \(\varvec{B}\) es uniforme y está equipado con superficies de flujo anidadas \(\Psi \). Tanto \(\varvec{B}\) como \(\Psi \) no exhiben isometrías euclidianas continuas, es decir, invariancia bajo una combinación apropiada de traslaciones y rotaciones. El campo magnético \(\varvec{B}\) tiene una transformada rotacional que se desvanece, mientras que la cuasisimetría \(\varvec{u}\) no es tangencial a los contornos de la función de flujo \(\Psi \) definida en (14c), pero se encuentra sobre superficies de radio constante r. En particular, \(\varvec{B}\times \varvec{u}=m\nabla r\) con m un número entero mientras que \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/ r}\right) \) en el ejemplo (15). El momento conservado que surge de la cuasisimetría está dado por (23), que es aproximadamente la posición radial de una partícula cargada. El campo magnético \(\varvec{B}\) no es un campo de vacío ya que está presente una corriente \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\ne \varvec{0}\). Los campos magnéticos cuasisimétricos obtenidos (14a) pueden considerarse soluciones de magnetohidrodinámica anisotrópica si se elige adecuadamente la componente del tensor de presión26.

Además de proporcionar una prueba matemática de la existencia de soluciones para el sistema (1) con las propiedades descritas anteriormente, este trabajo ofrece un marco teórico alternativo para los esfuerzos numéricos y experimentales dedicados al diseño moderno de stellarator, y posiblemente allana el camino para el desarrollo de semi -Esquemas analíticos dirigidos a la optimización de campos magnéticos de confinamiento. El próximo objetivo de la presente teoría sería mejorar aún más los resultados obtenidos determinando la existencia de soluciones de vacío \(\nabla \times \varvec{B}=\varvec{0}\) del sistema (1) tales que el módulo del campo magnético se puede escribir como una función de la función de flujo y una combinación lineal de ángulos toroidales y poloidales, \(B^2=B^2\left( {\Psi ,M\vartheta -N\varphi }\right ) \), y en particular para establecer la existencia de configuraciones cuasisimétricas de vacío con la torsión de la línea de campo requerida para atrapar efectivamente partículas cargadas.

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La investigación de NS fue parcialmente financiada por JSPS KAKENHI Grants No. 21K13851 y No. 22H00115. El autor agradece la discusión útil con Z. Qu, D. Pfefferlé, RL Dewar, T. Yokoyama y con varios miembros de Simons Collaboration on Hidden Symmetries and Fusion Energy.

Escuela de Graduados en Ciencias Fronterizas, Universidad de Tokio, Kashiwa, Chiba, 277-8561, Japón

naoki sato

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NS desarrolló el formalismo teórico, realizó los cálculos analíticos y escribió el manuscrito.

Correspondencia a Naoki Sato.

Los conjuntos de datos generados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

El autor no declara intereses contrapuestos.

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Reimpresiones y permisos

Sato, N. Existencia de campos magnéticos débilmente cuasisimétricos sin transformada rotacional en dominios toroidales asimétricos. Informe científico 12, 11322 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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Recibido: 20 Abril 2022

Aceptado: 27 junio 2022

Publicado: 05 julio 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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